Unterschied zwischen linearer und nichtlinearer Gleichung

Lineare Gleichung vs. Nichtlineare Gleichung

In der Mathematik sind algebraische Gleichungen Gleichungen, die mithilfe von Polynomen gebildet werden. Wenn explizit geschrieben wird, werden die Gleichungen von der Form P ( x ) = 0 sein, wobei x ein Vektor von n unbekannten Variablen ist und P ein Polynom ist. Zum Beispiel ist P (x, y) = 4x 5 + xy 3 + y + 10 = 0 eine algebraische Gleichung in zwei explizit geschriebenen Variablen. Auch ist (x + y) 3 = 3x 2 y - 3zy 4 eine algebraische Gleichung, aber in impliziter Form und es wird die Form Q x, y, z) = x 3 + y 3 + 3xy 2 + 3zy 4 = 0, einmal explizit geschrieben.

Ein wichtiges Merkmal einer algebraischen Gleichung ist ihr Grad. Es ist definiert als die höchste Potenz der Terme, die in der Gleichung auftreten. Wenn ein Term aus zwei oder mehr Variablen besteht, wird die Summe der Exponenten jeder Variablen als die Potenz des Terms angesehen. Beachten Sie, dass gemäß dieser Definition P (x, y) = 0 von Grad 5 ist, während Q (x, y, z) = 0 von Grad 5 ist.

Lineare Gleichungen und nichtlineare Gleichungen die Menge der algebraischen Gleichungen. Der Grad der Gleichung ist der Faktor, der sie voneinander unterscheidet.

Was ist eine lineare Gleichung?

Eine lineare Gleichung ist eine algebraische Gleichung vom Grad 1. Zum Beispiel ist 4x + 5 = 0 eine lineare Gleichung einer Variablen. x + y + 5z = 0 und 4x = 3w + 5y + 7z sind lineare Gleichungen von 3 bzw. 4 Variablen. Im Allgemeinen wird eine lineare Gleichung von n Variablen die Form annehmen: m 1 x 1 + m 2 x 2 + ... + m n-1 x n-1 + m n x n = b. Hier sind x i s die unbekannten Variablen, m i s und b sind reelle Zahlen, wobei jedes von m i ungleich Null ist.

Eine solche Gleichung repräsentiert eine Hyperebene im n-dimensionalen Euklidischen Raum. Insbesondere stellt eine zwei variable lineare Gleichung eine gerade Linie in der kartesischen Ebene dar und eine drei variable lineare Gleichung stellt eine Ebene auf dem euklidischen 3-Raum dar.

Was ist eine nichtlineare Gleichung?

Eine quadratische Gleichung ist eine algebraische Gleichung, die nicht linear ist. Mit anderen Worten, eine nichtlineare Gleichung ist eine algebraische Gleichung des Grades 2 oder höher. x 2 + 3x + 2 = 0 ist eine einzelne nichtlineare Gleichung. x 2 + y 3 + 3xy = 4 und 8yzx 2 y 2 + 2z 2 + x + y + z = 4 sind Beispiele für nichtlineare Gleichungen von 3 bzw. 4 Variablen.

Eine nichtlineare Gleichung zweiten Grades wird als quadratische Gleichung bezeichnet. Wenn der Grad 3 ist, dann wird es eine kubische Gleichung genannt. Die Gleichungen vom Grad 4 und Grad 5 werden als quartische bzw. quintische Gleichungen bezeichnet.Es ist bewiesen, dass es keine analytische Methode gibt, um eine nichtlineare Gleichung von Grad 5 zu lösen, und dies gilt auch für jeden höheren Grad. Lösbare nichtlineare Gleichungen stellen Hyperoberflächen dar, die keine Hyperebenen sind.

Was ist der Unterschied zwischen linearer Gleichung und nichtlinearer Gleichung?

• Eine lineare Gleichung ist eine algebraische Gleichung vom Grad 1, aber eine nichtlineare Gleichung ist eine algebraische Gleichung vom Grad 2 oder höher.

• Obwohl jede lineare Gleichung analytisch lösbar ist, ist dies in nichtlinearen Gleichungen nicht der Fall.

• Im n-dimensionalen euklidischen Raum ist der Lösungsraum einer n-variablen linearen Gleichung eine Hyperebene, während die einer n-variablen nichtlinearen Gleichung eine Hyperoberfläche ist, die keine Hyperebene ist. (Quadrics, kubische Flächen und etc.)