Unterschied zwischen arithmetischer Sequenz und geometrischer Sequenz: Arithmetik vs. Arithmetische vs geometrische Progression

Arithmetische Sequenz gegen geometrische Reihenfolge

Das Studium von Zahlenmustern und deren Verhalten ist eine wichtige Studie auf dem Gebiet der Mathematik. Oft sind diese Muster in der Natur sichtbar und helfen uns, ihr Verhalten wissenschaftlich zu erklären. Arithmetische Sequenzen und geometrische Sequenzen sind zwei der grundlegenden Muster, die in Zahlen vorkommen und oft in natürlichen Phänomenen vorkommen.

Die Folge ist eine Menge von geordneten Zahlen. Die Anzahl der Elemente in der Folge kann entweder endlich oder unendlich sein.

Mehr über arithmetische Sequenz (arithmetische Progression)

Eine arithmetische Sequenz ist definiert als eine Folge von Zahlen mit einer konstanten Differenz zwischen jedem aufeinanderfolgenden Ausdruck. Es ist auch bekannt als arithmetische Progression.

arithmetische Sequnece ₁ , ₂ ; wo ₂ = a ₁ + d, ₃ = a ₂ + d und so weiter. _{Wenn der Anfangswert ein} 1 _{ist und die gemeinsame Differenz d ist, dann ist der n} th _{-Term der Folge gegeben durch;} a

n

= a ₁ + (n - 1) d ^{ebenso wie;} a

n _{= a} m _{+ (nm) d,} wobei ein

m ^{Zufallsglied in der Folge ist,.}

Die Menge der geraden Zahlen und die Menge der ungeraden Zahlen sind die einfachsten Beispiele für arithmetische Sequenzen, wobei jede Sequenz eine gemeinsame Differenz (d) von 2.

Die Anzahl der Terme in einer Sequenz kann entweder unendlich oder endlich sein. Im unendlichen Fall (n → ∞) neigt die Folge abhängig von der gemeinsamen Differenz (a _n → ± ∞) zu unendlich. Wenn der gemeinsame Unterschied positiv ist (d> 0), neigt die Sequenz zu einem positiven Unendlichen und tendiert, wenn der gemeinsame Unterschied negativ ist (d <0), zu einem negativen Unendlichen. Wenn die Terme endlich sind, ist auch die Folge endlich. Die Summe der Terme in der arithmetischen Folge wird als arithmetische Reihe bezeichnet: S _n = a

1

+ a

2

3 _{+ a} 4

+ ⋯ + a n _{= Σ} i = 1 → n _a i; _{und n} = (n / 2) (a _{+ (n-1) d] gibt den Wert der Reihe (S} n) _an. Mehr über Geometrische Reihenfolge (Geometrische Progression)

Eine geometrische Folge ist definiert als eine Folge, in der der Quotient zweier aufeinanderfolgender Terme eine Konstante ist. Dies wird auch als geometrische Progression bezeichnet. , , , ; wobei a ₂ / a ₁ = r, a ₃ / a ₂ = r und so weiter, Nummer.

Es ist einfacher, die geometrische Sequenz unter Verwendung des gemeinsamen Verhältnisses (r) und des anfänglichen Terms (a) darzustellen. Daher ist die geometrische Folge ⇒ a

1

1 _{r, a} 1 _r 2 _a 1 _r 3 _{, …, a} 1 _r n-1 . Die allgemeine Form der n _th Terme, die durch a _n = a

1 _r n-1 _{gegeben sind. (Verlust des Index der Anfangsperiode ⇒ a} n _{= ar} n-1 ⁾ _{Die geometrische Folge kann auch endlich oder unendlich sein. Wenn die Anzahl der Terme endlich ist, heißt die Folge endlich. Und wenn die Terme unendlich sind, kann die Folge entweder unendlich oder endlich sein, abhängig vom Verhältnis r. Das gemeinsame Verhältnis betrifft viele der Eigenschaften in geometrischen Sequenzen.} r> o

0 Die Folge konvergiert - exponentieller Abfall, d. e. a n ^{→ 0, n → ∞} r = 1

Konstante Folge, d.h. e. a ⁿ = Konstante _{r> 1} Die Reihenfolge divergiert - exponentielles Wachstum, d. e. a _n → ∞, n → ∞ ^{r <0} Die Folge ist oszillierend, konvergiert jedoch _{r = 1} Die Folge ist abwechselnd und konstant, d. e. a ⁿ = ± konstante

r <-1

Die Reihenfolge ist abwechselnd und divergiert. ich. e.

n → ± ∞, n → ∞	r = 0	Die Folge ist eine Folge von Nullen N. B: In allen obigen Fällen ist 1 > 0; wenn a
1	<0, werden die Vorzeichen für n invertiert.
Das Zeitintervall zwischen den Bounces eines Balls folgt im Idealmodell einer geometrischen Folge und ist eine konvergente Folge.	Die Summe der Terme der geometrischen Folge ist als geometrische Reihe bekannt; S n = ar + ar 2
+ ar 3	+ ⋯ + > ar	i
. Die Summe der geometrischen Reihen kann mit der folgenden Formel berechnet werden.	S n = a (1-r
n	) / (1-r) ; wo a der Anfangsbegriff ist und r das Verhältnis ist. Wenn das Verhältnis r ≤ 1 ist, konvergiert die Reihe. Für eine unendliche Reihe ist der Konvergenzwert gegeben durch S
n	= a / (1-r)

Was ist der Unterschied zwischen arithmetischer und geometrischer Folge / Progression? _{• In einer arithmetischen Folge haben zwei aufeinanderfolgende Terme eine gemeinsame Differenz (d), während in zwei aufeinanderfolgenden Gliedern in geometrischer Reihenfolge ein konstanter Quotient (r) vorhanden ist.} • In einer arithmetischen Folge ist die Variation der Terme linear, d. e. eine gerade Linie kann durch alle Punkte gezogen werden. In einer geometrischen Reihe ist die Variation exponentiell; entweder wächst oder verfällt auf der Grundlage des gemeinsamen Verhältnisses. _{• Alle unendlichen arithmetischen Sequenzen sind divergent, während unendliche geometrische Reihen entweder divergent oder konvergent sein können.} • Die geometrische Reihe kann eine Schwingung zeigen, wenn das Verhältnis r negativ ist, während die arithmetische Reihe keine Oszillation