Unterschied zwischen gegenseitig ausschließenden und unabhängigen Ereignissen

gegenseitig ausschließende und unabhängige Ereignisse

Menschen verwechseln oft das Konzept von sich gegenseitig ausschließenden Ereignissen mit unabhängigen Ereignissen. In der Tat sind dies zwei verschiedene Dinge.

Seien A und B irgendwelche zwei Ereignisse, die mit einem Zufallsversuch E zusammenhängen. P (A) heißt "Wahrscheinlichkeit von A". In ähnlicher Weise können wir die Wahrscheinlichkeit von B als P (B), die Wahrscheinlichkeit von A oder B als P (A∪B) und die Wahrscheinlichkeit von A und B als P (A∩B) definieren. Dann ist P (A · B) = P (A) + P (B) -P (A · B).

Es gibt jedoch zwei Ereignisse, die sich gegenseitig ausschließen, wenn das Auftreten eines Ereignisses das andere nicht beeinflusst. Mit anderen Worten können sie nicht gleichzeitig auftreten. Wenn also zwei Ereignisse A und B sich gegenseitig ausschließen, dann ist A∩B = ∅ und somit impliziert P (A∪B) = P (A) + P (B).

Es seien A und B zwei Ereignisse in einem Stichprobenraum S. Die bedingte Wahrscheinlichkeit von A, wenn B eingetreten ist, wird mit P (A | B) bezeichnet und ist definiert als; P (A | B) = P (A · B) / P (B), vorausgesetzt P (B)> 0. (sonst ist es nicht definiert.)

Ein Ereignis A soll unabhängig von einem Ereignis B sein, wenn die Wahrscheinlichkeit, dass A auftritt, nicht davon beeinflusst wird, ob B aufgetreten ist oder nicht. Mit anderen Worten hat das Ergebnis des Ereignisses B keine Auswirkung auf das Ergebnis des Ereignisses A. Daher ist P (A | B) = P (A). In ähnlicher Weise ist B unabhängig von A, wenn P (B) = P (B | A) ist. Daher können wir schließen, dass, wenn A und B unabhängige Ereignisse sind, P (A∩B) = P (A) ist. P (B)

Angenommen, ein nummerierter Würfel wird gerollt und eine faire Münze wird umgedreht. Sei A das Ereignis, das einen Kopf erhält, und B das Ereignis, das eine gerade Zahl rollt. Dann können wir schließen, dass die Ereignisse A und B unabhängig sind, weil das Ergebnis des einen das Ergebnis des anderen nicht beeinflusst. Daher ist P (A∩B) = P (A). P (B) = (1/2) (1/2) = 1/4. Da P (A∩B) ≠ 0, A und B nicht gegenseitig ausschließen können.

Angenommen, eine Urne enthält 7 weiße Murmeln und 8 schwarze Murmeln. Definiere Ereignis A als Zeichnung eines weißen Marmors und Ereignis B als Zeichnung eines schwarzen Marmors. Angenommen, jeder Marmor wird ersetzt, nachdem er seine Farbe notiert hat, dann werden P (A) und P (B) immer gleich sein, egal wie oft wir aus der Urne ziehen. Das Ersetzen der Murmeln bedeutet, dass sich die Wahrscheinlichkeiten nicht von Ziehung zu Ziehung ändern, egal welche Farbe wir bei der letzten Ziehung ausgewählt haben. Daher sind Ereignis A und B unabhängig.

Wenn jedoch Murmeln ohne Ersatz gezeichnet wurden, ändert sich alles. Unter dieser Annahme sind die Ereignisse A und B nicht unabhängig. Wenn Sie beim ersten Mal einen weißen Marmor zeichnen, ändert sich die Wahrscheinlichkeit, dass Sie beim zweiten Mal einen schwarzen Marmor zeichnen und so weiter. Mit anderen Worten, jede Ziehung hat Auswirkungen auf die nächste Ziehung, und so sind die einzelnen Ziehungen nicht unabhängig.

Unterschied zwischen gegenseitig ausschließenden und unabhängigen Ereignissen - Die gegenseitige Exklusivität von Ereignissen bedeutet, dass es keine Überschneidung zwischen den Mengen A und B gibt. Unabhängigkeit von Ereignissen bedeutet, dass das Ereignis von A nicht das Geschehen von B beeinflusst. zwei Ereignisse A und B schließen sich gegenseitig aus, dann ist P (A∩B) = 0. - Wenn zwei Ereignisse A und B unabhängig sind, dann ist P (A∩B) = P (A). P (B)