Unterschied zwischen Zufallsvariablen und Wahrscheinlichkeitsverteilung
Zufallsvariablen als auch Wahrscheinlichkeitsverteilung
Statistische Experimente sind zufällige Experimente, die mit einer bekannten Ergebnismenge unbegrenzt wiederholt werden können. Beide Zufallsvariablen und Wahrscheinlichkeitsverteilungen sind solchen Experimenten zugeordnet. Für jede Zufallsvariable gibt es eine zugeordnete Wahrscheinlichkeitsverteilung, die durch eine Funktion definiert wird, die kumulative Verteilungsfunktion genannt wird.
Was ist eine Zufallsvariable?
Eine Zufallsvariable ist eine Funktion, die den Ergebnissen eines statistischen Experiments numerische Werte zuordnet. Mit anderen Worten, es ist eine Funktion, die aus dem Probenraum eines statistischen Experiments in die Menge der reellen Zahlen definiert wird.
Betrachten Sie beispielsweise ein zufälliges Experiment, bei dem eine Münze zweimal umgedreht wird. Die möglichen Ergebnisse sind HH, HT, TH und TT (H - Köpfe, T - Tales). Die Variable X sei die Anzahl der im Experiment beobachteten Köpfe. Dann kann X die Werte 0, 1 oder 2 annehmen und es ist eine Zufallsvariable. Hier wird die Zufallsvariable X die Menge S = {HH, HT, TH, TT} (den Abtastraum) auf die Menge {0, 1, 2} so abbilden, dass HH auf 2, HT und TH abgebildet wird werden auf 1 abgebildet und TT wird auf 0 abgebildet. In Funktionsschreibweise kann dies geschrieben werden als, X: S → R wobei X (HH) = 2, X (HT) = 1, X (TH) = 1 und X TT) = 0.
Es gibt zwei Arten von Zufallsvariablen: diskret und kontinuierlich. Dementsprechend kann die Anzahl der möglichen Werte, die eine Zufallsvariable annehmen kann, höchstens zählbar sein oder nicht. Im vorigen Beispiel ist die Zufallsvariable X eine diskrete Zufallsvariable, da {0, 1, 2} eine endliche Menge ist. Betrachten Sie nun das statistische Experiment, die Gewichte von Schülern in einer Klasse zu finden. Sei Y die Zufallsvariable, die als Gewicht eines Schülers definiert ist. Y kann innerhalb eines bestimmten Intervalls einen beliebigen Wert annehmen. Daher ist Y eine kontinuierliche Zufallsvariable.
Was ist eine Wahrscheinlichkeitsverteilung?
Die Wahrscheinlichkeitsverteilung ist eine Funktion, die die Wahrscheinlichkeit einer Zufallsvariablen unter Berücksichtigung bestimmter Werte beschreibt.
Eine Funktion, die als kumulative Verteilungsfunktion (F) bezeichnet wird, kann aus der Menge der reellen Zahlen zur Menge der reellen Zahlen als F (x) = P (X ≤ x) definiert werden (die Wahrscheinlichkeit, dass X kleiner oder gleich x) für jedes mögliche Ergebnis x. Nun kann die kumulative Verteilungsfunktion von X im ersten Beispiel als F (a) = 0 geschrieben werden, wenn a <0; f (a) = 0. 25, falls 0 ≤ a <1; f (a) = 0. 75, falls 1 ≤ a <2>
Bei diskreten Zufallsvariablen kann eine Funktion aus der Menge der möglichen Ergebnisse auf die Menge der reellen Zahlen so definiert werden, dass ƒ (x) = P (X = x) (die Wahrscheinlichkeit, dass X gleich x ist) für jedes mögliche Ergebnis x. Diese spezielle Funktion ƒ heißt Wahrscheinlichkeits-Massenfunktion der Zufallsvariablen X.Nun kann die Wahrscheinlichkeits-Massenfunktion von X in dem ersten bestimmten Beispiel als ƒ (0) = 0 geschrieben werden. 25, ƒ (1) = 0. 5, ƒ (2) = 0. 25 und ƒ (x) = 0 sonst. Somit beschreibt die Wahrscheinlichkeits-Massenfunktion zusammen mit der kumulativen Verteilungsfunktion die Wahrscheinlichkeitsverteilung von X im ersten Beispiel.
Im Fall von stetigen Zufallsvariablen kann eine Funktion mit der Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion (ƒ) definiert werden als ƒ (x) = dF (x) / dx für jedes x, wobei F die kumulative Verteilungsfunktion des kontinuierlichen Zufalls Variable. Es ist leicht zu sehen, dass diese Funktion ∫ƒ (x) dx = 1 erfüllt. Die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion beschreibt zusammen mit der kumulativen Verteilungsfunktion die Wahrscheinlichkeitsverteilung einer stetigen Zufallsvariablen. Beispielsweise wird die Normalverteilung (die eine kontinuierliche Wahrscheinlichkeitsverteilung ist) unter Verwendung der Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion ƒ (x) = 1 / √ (2πσ 2 2 / (2σ 2 )). Was ist der Unterschied zwischen Zufallsvariablen und Wahrscheinlichkeitsverteilung?
