Unterschied zwischen Assoziativ und Kommutativ

Assoziativ vs Kommutativ

In unserem alltäglichen Leben müssen wir Zahlen verwenden, wann immer wir etwas messen müssen. Im Supermarkt, an der Tankstelle und sogar in der Küche müssen wir zwei oder mehr Mengen addieren, subtrahieren und multiplizieren. Aus unserer Praxis führen wir diese Berechnungen sehr mühelos durch. Wir bemerken nie oder fragen, warum wir diese Operationen auf diese besondere Weise machen. Oder warum diese Berechnungen nicht anders durchgeführt werden können. Die Antwort ist in der Art und Weise versteckt, wie diese Operationen im mathematischen Feld der Algebra definiert werden.

In der Algebra ist eine Operation mit zwei Größen (wie Addition) als binäre Operation definiert. Genauer gesagt handelt es sich um eine Operation zwischen zwei Elementen aus einer Menge, und diese Elemente werden als "Operand" bezeichnet. Viele Operationen in der Mathematik, einschließlich früher erwähnter arithmetischer Operationen und derjenigen, die in der Mengenlehre, der linearen Algebra und der mathematischen Logik angetroffen werden, können als binäre Operationen definiert werden.

Es gibt eine Reihe von Regeln, die sich auf eine bestimmte binäre Operation beziehen. Assoziativ und die kommutativen Eigenschaften sind zwei grundlegende Eigenschaften der binären Operationen.

Mehr zur Kommutativen Eigenschaft

Nehmen wir an, dass eine binäre Operation, die mit dem Symbol den gekennzeichnet ist, an den Elementen A und B ausgeführt wird. Wenn die Reihenfolge der Operanden das Ergebnis der Operation nicht beeinflusst, wird die Operation als kommutativ bezeichnet. ich. e. wenn A B = B A dann ist die Operation kommutativ.

Addition und Multiplikation der Rechenoperationen sind kommutativ. Die Reihenfolge der addierten oder multiplizierten Zahlen hat keinen Einfluss auf die endgültige Antwort:

A + B = B + A B = B

× A 4 × 5 = 5 × 4 = 20 < Aber im Falle der Divisionsänderung in der Ordnung ergibt sich der Kehrwert der anderen, und bei der Subtraktion ergibt die Veränderung das Negative der anderen. B - A ⇒ 4 - 5 = -1 und 5 - 4 = 1 A

B

B A ⇒ 4 ÷ 5 = 0. 8 und 5 ÷ 4 = 1. 25 [in diesem Fall < A, B ≠ 1 und 0]

Tatsächlich heißt die Subtraktion antikommutativ; wobei A - B = - (B - A). Auch die logischen Konnektoren, Konjunktion, Disjunktion, Implikation und Äquivalenz sind ebenfalls kommutativ. Wahrheitsfunktionen sind auch kommutativ. Die gesetzten Operationen union und intersection sind kommutativ. Addition und Skalarprodukt der Vektoren sind ebenfalls kommutativ. Aber die Vektorsubtraktion und das Vektorprodukt ist nicht kommutativ (das Vektorprodukt zweier Vektoren ist antikommutativ). Die Matrixaddition ist kommutativ, aber die Multiplikation und die Subtraktion sind nicht kommutativ. (Die Multiplikation zweier Matrizen kann in speziellen Fällen wie der Multiplikation einer Matrix mit ihrer Inversen oder der Identitätsmatrix kommutativ sein, aber definitiv sind Matrizen nicht kommutativ, wenn die Matrizen nicht gleich groß sind) Mehr über Assoziative Eigenschaft

Eine binäre Operation wird als assoziativ bezeichnet, wenn die Reihenfolge der Ausführung das Ergebnis nicht beeinflusst, wenn zwei oder mehr Vorkommen des Operators vorhanden sind. Betrachten Sie die Elemente A, B und C und die Binäroperation ⊗. Die Operation ⊗ wird als assoziativ bezeichnet, wenn A B

C

= A

B C) = (A

B) C Aus den arithmetischen Grundfunktionen sind nur Addition und Multiplikation assoziativ. A + B + C (B × C) = (A × B) × C 4 × (5 × 3) = (5 × 4) × 3 = 60 Die Subtraktion und die Teilung sind nicht assoziativ;

A

- B B (& Lt; 999 & gt; 999 & gt; 999 & gt; 999 & gt; (5 × 3) = 2. 4 und (5 × 4) ≤ 3 = 0. 2666 A B Die logische Konnektivität Disjunktion, Konjunktion und Äquivalenz sind assoziativ, ebenso wie die gesetzten Operationen union und intersection. Die Addition von Matrix und Vektor ist assoziativ. Das Skalarprodukt von Vektoren ist assoziativ, aber das Vektorprodukt ist nicht. Matrixmultiplikation ist nur unter besonderen Umständen assoziativ. Was ist der Unterschied zwischen kommutativem und assoziativem Eigentum? • Sowohl die assoziative Eigenschaft als auch die kommutative Eigenschaft sind spezielle Eigenschaften der Binäroperationen, und einige erfüllen diese und einige nicht. Diese Eigenschaften können in vielen Formen von algebraischen Operationen und anderen binären Operationen in der Mathematik gesehen werden, wie zum Beispiel in der Schnittmenge und Vereinigung in der Mengenlehre oder in den logischen Verknüpfungen. • Der Unterschied zwischen kommutativ und assoziativ ist, dass die kommutative Eigenschaft angibt, dass die Reihenfolge der Elemente das Endergebnis nicht ändert, während assoziative Eigenschaftszustände die Reihenfolge, in der die Operation ausgeführt wird, die endgültige Antwort nicht beeinflusst.